Syvtalsparadokset

(360³ + 37³) / (360 + 37) = 49³
(360³ + 323³) / (360 + 323) = 49³
(2.520³ + 1.007³) / (2.520 + 1.007) = 169³
(2.520³ + 1.513³) / (2.520 + 1.513) = 169³
(7.811³ + 2.771³) / (7.811 + 2.771) = 361³
(7.811³ + 5.040³) / (7.811 + 5.040) = 361³
Først og fremmest bemærker vi, at 49, 169 og 361 er lig med 7², 13² og 19².
Dernæst konstaterer vi, at 2.520 er 7 gange større end 360, og 5.040 er 14 gange større end 360.
Det paradoksale består i, at 360 og 2.520 optræder 2 gange, mens 5.040 kun optræder én gang.
Et lille hint: 37 + 323 = 360.

Gaaaaaaaaaaaabbbb, hvor du keder dig.

Det sjove ved det her er, at tallet 43 går igen flere gange, nemlig i mit skonummer og i kvadratroden divideret med hypotonysen i vinklen på rullereklamerne ude i siden af skærmen.
Et lille hint : 43 : 11 x 4 = 15,63

Kære Knud Flemm. Andersen,
Jeg formoder De ønsker at ophøje underskolediciplinen 2 lign. m. 2 ubekendte til et paradox(?). Siden hvornår er dette skred sket i mat. undervisningen?
((a + b)³ + a³) / (a + b + a) = c³
((a + b)³ + b³) / (a + b + b) = c³
hvor c = { 7, 13, 19, 25, ..., 7 + n * 6 }, hvor n = { 0, ..., N }
Jeg har ikke reduceret disse, men er vis på at vi sammen kan finde en naturlig forklaring - så som et algebraisk svar der gælder generelt.
;-)

vh.
Stephen Hawking
(geni)
(forbehold for trykfejl)

Shit, jeg er glad for jeg ikke går i skole mere.

2a³ + 3ab²b + 3ab² + b³ - bc³ - 2ac³ = 0
og anden lign. har jeg ikke reduceret. Gør man det kan lign. sys. løses mht. a og b hvor rødderne findes på vanlig vis.
Er det for svært så kan man evt. checke ind i 8. kl. igen hvor man jo så lige kan få et brush-up. Jeg er sikker på at det fleste folkeskoler vil have en stol fri ;-)

vh.
Stephen Hawking
(geni)

Du forudsætter, at der er tilsvarende løsninger, hvor facittet bliver 25³. Men det er forkert antaget. Det er der pudsigt nok nemlig ikke.
Næste tilfælde er 31, 37, 43, 61, osv. Altså kun når 6n + 1 er et primtal.
Den var værre, hvad!?

Som De kan se kære Hr. Müller så tilsigter jeg til løsning af et ligningssystem af 3. grad. Det kommer mao. ud på om at vi finder rødderne i 3. grads polynomier - hvis der er nogle - hvilket jeg jo ikke har udtalt mig om :-)
Men det kan jeg derimod forstå De har undersøgt(?). Det er interessant hvis det viser sig at der ikke er heltalsløsninger (altså rødder a, b som tilfredsstiller ligningerne) som er andre end primiske. Men det er jo en påstand.
Det bliver formentligt ikke helt nemt at vise selv for Dem Hr. Müller da der jo som bekendt er ∞ mange primtal (vist af Euler). Man kan derfor ikke bruge et induktionsbevis da de skal gælde generelt i et tælleligt udfaldsrum. Jeg formoder De svarer mig med et modstridsbevis... hvilket jeg så vil sætte mig til at vente på.
God fornøjelse.

vh.
Stephen Hawking
(geni)

(x³ + y³) / (x + y) = w³
Mulige løsninger findes således:
w = a² + b² - ab
x = a * w
y = b * w
Som det tydeligt fremgår, så giver det udelukkende ikke primiske løsninger. Eksempel: a = 5 og b = 2.
w = 25 + 4 - 10 = 19
x = 5 * 19 = 95
y = 2 * 19 = 38
Kontrol: (95³ + 38³) / (95 + 38) = 19³
Hvis w er et kubiktal, kan udtrykket forkortes ned til et ikke primisk tilfælde. Som eksempelvis disse:
(19³ + 18³) / (19 + 18) = 343 = 7³
(19³ + 1³) / (19 + 1) = 343 = 7³
(18³ - 1³) / (18 - 1) = 343 = 7³
Hvis x og y er indbyrdes primiske, optræder de altid i en sådan gruppe af tre løsninger. For øvrigt med samme w værdi, så formlerne her starter ligeså:
w = a² + b² - ab
x = a³ + b³ - 3a²b
y = a³ + b³ - 3ab³ (alternativt: y = 6ab(a - b)
Hvis w atter bliver et kubiktal, kan der endnu engang forkortes ned. Mindste løsning i dette tilfælde er: x=360 y=37 henholdsvis 323, som Knud Flemming Andersen anviste.
Og som ham kender jeg ikke formlerne. Men jeg kan hjælpe og sige, at der er også er disse 6 løsninger, hvor w=91:
x=971, y=270
x=971, y=701
x=701, y=-270
x=970, y=631
x=970, y=359
x=631, y=-359
Bemærk: 91 = 7 gange 13 (hvorimod 49 er 7*7). Når det er to forskellige tal, der ganges, giver det altid 6 løsninger.
Jeg håber, at det bragte dig videre i systemet.

Du har ret, man kan søge i evigheder. Og det har aldrig været min mening. Ej heller hensigt.
Trods dette kan jeg glæde (eller måske skuffe) Knud med, at for 37³ giver det samme lige tal som for 31³, nemlig:
(58.463³ + 27.720³) / (58.463 + 27.720) = 37³.
27.720 var det samme tal, som han fandt frem til ved 31³.
Det kan vist være meget svært at forklare.

Jeg mente selvfølgelig (31²)³ og (37²)³.
For øvrigt har jeg nu konstateret, at (43²)³ ikke giver nogen løsning, så det med primtallene var altså en fejltagelse.

Dine antagelser ser ud til at være fuldkommen korrekte.
Men det gør det ingenlunde nemmere at finde et mønster. (Formler).