Prove by mathematical induction that
1 + 3 + ... + (2n-1) = n²
MIT FORSØG PÅ BESVARELSE:
Prove
1 + 3 + ... + (2n-1) = n²
Basis: (2*1-1) = 12 = 1
Induction: Assume true for k ≥ 1
P(2(k+1)-1) = (k+1)2, replace n with (k+1)
1+3+…+2(k+1) = 2k+2, factor right side
2k+2 = 2k+2, factor left side
Therefore, 1 + 3 + … + (2n-1) = n²
hvis man sætter n=1: hvordan kan denne sætning så passe? 1+3+...+(2*1-1)=1^2?
Der står jo 1+3+noget andet, hvordan kan det være lig med 1?
tilføjet af Spjellerup
Opstillingen er korrekt nok
Selvfølgelig ser det lidt underligt ud, når du sætter n=1, da 3-tallet så udgår. Men hvis eksempelvis n=7, så får du:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 7².
Hvor 13 = 2 * 7 - 1; definitionen i parentesen!
Prove by mathematical induction that
1 + 3 + ... + (2n-1) = n²
MIT FORSØG PÅ BESVARELSE:
Prove
1 + 3 + ... + (2n-1) = n²
Basis: (2*1-1) = 12 = 1
Induction: Assume true for k ≥ 1
P(2(k+1)-1) = (k+1)2, replace n with (k+1)
1+3+…+2(k+1) = 2k+2, factor right side
2k+2 = 2k+2, factor left side
Therefore, 1 + 3 + … + (2n-1) = n²
hvis man sætter n=1: hvordan kan denne sætning så passe? 1+3+...+(2*1-1)=1^2?
Der står jo 1+3+noget andet, hvordan kan det være lig med 1?
tilføjet af DenHelligeFrans
matematik, induktion, uendelig talrække
Et induktionsbevis består af to trin:
1. Bevis at sætningen gælder for n=1.
2. Bevis at hvis sætningen gælder for n=k (hvor k er et vilkårligt tal), så gælder den også for n=k+1.
Kan du se logikken? Pkt.1 beviser at sætningen gælder for n=1. Pkt.2 beviser så, at det også gælder for den næste værdi af n. Og den næste værdi igen. Og den næste værdi igen. Osv.
Lad os se på den konkrete opgave:
1. Nemt nok. For n=1 siger sætningen at
1 = 1^2 <=>
1 = 1
og vi kan vel hurtigt blive enige om, at dette er sandt?
2. Vi antager at sætningen gælder for n=k. Vi har altså
1 + 3 + .... + (2k-1) = k^2
Lad os nu lægge (2(k+1)-1) (som er det næste tal i talrækken) til på hver side og se hvad højresiden bliver til:
1 + 3 + .... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = k^2 + (2(k+1)-1) <=>
1 + 3 + .... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = k^2 + 2k + 1 <=>
1 + 3 + .... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = (k+1)^2
som jo er sætningen for n=k+1. Vi har altså også bevist pkt.2 i induktionsbeviset.