VM fodbold. matematik.VM fodbold

Hej jeg er i gang med at lave en VM Fodbold projekt.
jeg ville bare have hjælp til det her.
Hvordan finder man den gyldne snit af en FIFA logo ?
hvor mange bold kan der være på fodboldbane.
hvis en fodbold diameter er 21,5 cm
Længde af en fodboldbane er 120 m
Brede af en fodboldbane er 90m
hvordan regner jeg ud, hvor mange fodbold der kan være på banen?.
håber i kan hjælpe mig og tusinde tak. hvis i kunne hjælpe mig .

Find arealet af fodboldbanen: 120*90
Find radius af fodbold: 0.215/2
Find tværsnitsareal af fodbold: pi*radius*radius
Antallet er så: "arealet af fodboldbanen"/"tværsnitsareal af fodbold"
Men, hvis du kigger ovenfra ned på boldene vil du kunne se noget græs imellem boldene.
Du skal udregne hvor stor en del der er græs, og dette gøres ved at tegne 3 circler ved siden ad hinanden og lægge hjernen i blød.
Derefter kan du korigere antallet, husk at runde ned.
Desværre er det stadig ikke rigtigt, og den rigtige løsning bliver lidt for besværlig at forklare, men tæt på.

det med at 120*90 er forkert. man skal plus længde og brede. 120+120+90+90.
radius 21,5/2.
jeg ved ike lige hvordan man regner det men kan man ikke bare gøre det her.
120+120+90+90=420 meter.
420 meter til cm 4200
4200/21,5 og så få man resultat.
tror nok at det er sådan der.

Din udregning viser hvor mange fodbolde der kan ligge i kanten af banen, men det er ikke det der bliver spurgt om.

hvis din måde er rigtig. hvor mange fodbold kan der så ligge på fodboldbanen ?

Det kommer jo an på så meget. Hvordan skal boldene ligge? De kan jo ligge lige i forhold til hinanden, altså sådan at man inddeler hele banen i kvadrater der hver kan indeholde én bold. Det er nok også det nemmeste at regne ud. Men boldene kan jo også ligge forskudt af hinanden! altså en række af bolde ligger en halv bolds længde forskudt af naborækken af bolde. Dermed kan man spare plads, og der kan ligge flere bolde på banen (antager jeg. Har ikke lavet udregningen).
Men det kræver altså noget cirkelberegning.
tror lige jeg kigger lidt på det selv, bare for at fordrive tiden :D

Opgaven indeholder ikke krav til at boldene skal ligge på en bestemt måde.
Det er klart at det er mere optimalt at lægge boldene forskudt.
Kig på 3 ens cirkler der rører hinanden og udregn forholdet mellem græsplet (imellem de 3 bolde) og bold.
Men stadigvæk er der forkert...

først regner jeg ud hvor mange bolde der kan ligge på banen, hvor man ligger dem i hvert deres kvadrat. Altså den letteste måde, men heller ikke den mest effektive.
På den korteste side kan der ligge 418,6 bolde (900m/21,5cm), og på den lange side kan der ligge 558,1 bolde (120m/21,5cm). Vi kan i denne model ikke bruge andet end det hele antal bolde, og derfor afrunder vi ned til hele tal. Altså får vi 418bolde*558bolde = 216524 bolde på en bane efter denne model.
Men som sagt er der en mere effektiv måde at ligge boldene på. Nemlig en halv bold forskudt af hinanden. vi ved at der på den korte side kunne ligge 418,6 bolde. Dermed går der i den anden model mere end en halv bolds plads til spilde der. I denne model kan vi udnytte denne plads, og lade den korte side være basis for vores forskydninger.
På denne måde sparer vi plads fordi der kan ligge flere bolde på den lange bane, men altså det samme antal på den korte.
Det er en lidt besværlig udregning jeg har lavet, men det kan godt lade sig gøre. Først regner jeg ud hvor meget en række af bolde vil fylde på den lange side, når de ligger forskudt. fordi når boldene ligger forskudt af hinanden, og ligger tæt, betyder det at afstanden mellem en bolds centrum til en nabobolds stadig vil være 2*boldens radius (for nemheds skyld sætter jeg her boldenes radius til 1). Boldene ligger nu forskudt og har næste rækkes bolde liggende til hver side i en vinkel, hvor næste rækkes bolde tangere umiddelbart over centrum for første rækkes bolde.
Nu kan vi finde ud af hvor mange rækker af bolde der kan ligge på denne måde i forhold til hvor mange der kunne ligge på den anden måde. Det er lettest hvis du tegner det. Tegne tre bolde der ligger som beskrevet (hvor der er to i første række og en ligger mellem dem i anden række. Forbind deres centrummer i en trekant. Del denne trekant op i to, således at to retvinklede trekanter, hvor den rette vinkel har udgangspunkt i tangeringen mellem de to nederste bolde. Her skal du udregne den side der går mellem den rette vinkel (og dermed tangeringen mellem de to nederste bolde), og til den øverste bolds centrum. Dette kan lade sig gøre via Pythagoras. du ved der er 1r (radius) mellem en af de neserste bolde og til tangeringen med nabobolden, og du ved at der er 2r mellem en af de nederste bolde og til den øverste bolds centrum. fordi du har en ret vinkel kan du bruge pythagoras, og sige a^2+1^2=2^2. Omskriv denne og du får a^2 = 2^2-1^2 = 3
a bliver dermed kvadratrod 3
Dette står for hvor mange almindelige boldes diametere to rækker af bolde nu fylder (1,7320508 boldes diametere). for at få hvad en række af bolde nu fylder på langsiden skal dette divideres med to, og for at får hvor mange cm vi rent faktisk taler om skal det ganges med 21,5 cm. Så får vi at en række af bolde nu fylder 18,619546 cm. (hvor den før fyldte 21,5 cm naturligvis). Dette gælder jo for næsten hele banen, pånær de to yderste halvdele, nemlig bunden og toppen, hvor denne pladsbesparelse ikke er mulig. Træk altså en bolds længe fra banens længde, og du får, 119,785m. Divider denne længde med de 18,619546 cm fra før og endelig +1, (den halve vi to fra i hver ende af banen fordi der ingen pladsbesparelse var der), og du får et resultat der lyder 644,32932 rækker af bolde. dette skal naturligvis rundes ned, for vi kan regne på det, og ganges med de 418 bolde vi ved kan ligge i bunden af banen. Nu får vi altså 418 bolde*644 bolde = 269192 bolde!
I den gamle metode kunne vi kun klemme 216524 bolde på en banen, og nu kan vi altså få 52668 flere bolde på banen, uden at stable, og uden at overskride banens grænser!

ikke uden at stable ovenpå hinanden, og ikke uden af pifte bolde, og på anden måde gøre deres areal kvadratisk...
Hvis du skal bibeholde boldenes form, og ligge dem i et plan på en fodboldbane er det mest effektive at ligge dem forskudt. Du må gerne prøve at komme med en anden metode, men jeg har altså fat i den mest effektive...

Er du sikker på at der kan ligge = 216524 bold på den fodboldbane?

det er jeg jo klar over.

Det var efter den ineffektive metode...
hvis du forskyder rækkerne kan der ligge 269192 bolde...

Det er helt rigtigt det du gør, omend på en lidt besværlig måde.
Men stadigvæk er det muligt at du kan justere en smule på boldene og få plads til en ekstra eller to.
Det er svært.

at deformere deres størrelse... Jeg antager i min besvarelse at boldenes form skal overholdes. Altså som om boldene var lavet af stål, eller granit eller sådan...

Selvfølgelig skal du ikke ændre på boldenes form.
Selvom du ligger boldene forskudt, som er det umiddelbart mest optimale, kan det være at man kan afvige en smule fra dette og få plads til en ekstra.
Men jeg aner det ikke, og er også ligeglad.
Håber du forstår.

det tror jeg bare ikke at du kan. Kan ikke se hvordan det skulle lade sig gøre. Boldene kan ikke give sig på den måde de ligger, og der er ikke plads til flere nogle steder.

Jeg har ikke kigget på det konkrete eksempel, men du godt vælge et bestemt rektangel og en bestemt cirkel, hvor den optimale løsning afviger fra princippet om at ligge forskudt.
Et simpelt eksempel er et kvadrat med sidelængde 2x og cirkel med radius x.
Her er det optimale 4 cirkler, og disse ligger ikke forskudt.

det kan jeg udelukke, alene fordi den side jeg forskyder boldene på giver plads til 148,6 bolde. Altså over en halv boldts plads.

Ok, glad for at vi forstår hinanden nu, jeg overvejede aldrig at pifte bolde 🙂
Håber også det er ok at jeg deltog uden at regne specielt konkret, og tillykke med resultatet.

Er altid hygge med lidt matematik regneopgaver :D